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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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3. Dada la función $f(x)=\frac{x^{3}+5 x}{x^{2}+1}$, verificar que no posee asíntotas horizontales. Comprobar sin embargo que, como se muestra en la figura, la recta $y=x$ es una asíntota oblícua para esta función.
Respuesta
Para comprobar que no tiene asíntotas horizontales, tomemos el límite cuando $x$ tiende a $\pm \infty$ y veamos que efectivamente no nos da un número. Infinito sobre infinito, polinomio sobre otro polinomio, sacamos factor común "el que manda", no? Vamos con esa:
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$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3(1+\frac{5}{x^2})}{x^2(1+\frac{1}{x^2})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1+\frac{5}{x^2})}{1+\frac{1}{x^2}} = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3(1+\frac{5}{x^2})}{x^2(1+\frac{1}{x^2})} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(1+\frac{5}{x^2})}{1+\frac{1}{x^2}} = -\infty$
Aclaración: Para ahorrarte escribir tanto en tu cuaderno, podrías haber hecho algo así:
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3(1+\frac{5}{x^2})}{x^2(1+\frac{1}{x^2})} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(1+\frac{5}{x^2})}{1+\frac{1}{x^2}} $
Y ahí abris los dos casos, cuando $x$ tiende a $+\infty$ y cuando tiende a $-\infty$, porque fijate que todo el arranque de sacar factor común y simplificar fue igual para los dos ;)
Bien, efectivamente $f$ no tiene asíntotas horizontales. Ahora veamos si tiene asíntotas oblicuas:
Sabemos que la asíntota oblicua tendría la forma \( y = mx + b \). Para determinar si existe una asíntota oblicua, calculamos los valores de \( m \) y \( b \):
Arrancamos por \( m \)
$ m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{x^3+5x}{x^2+1}}{x} $
$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3+5x}{x(x^2+1)} $
$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3+5x}{x^3+x} $
$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3(1+\frac{5}{x^2})}{x^3(1+\frac{1}{x^2})} $
$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1+\frac{5}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}} = 1$
Fijate como en este caso el resultado es el mismo tanto en $+$ como $-\infty$, nos vino bárbaro poner directamente que tomábamos el límite a $\pm \infty$ ;)
Impecable, nuestra posible pendiente es $m = 1$. Ahora veamos si existe la ordenada al origen $b$. Sabemos que va a estar dada por:
$ b = \lim_{x \to \pm\infty} f(x) - x = \frac{x^3+5x}{x^2+1} - x $
Escribimos esa resta como una única fracción:
$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + 5x - x(x^2 + 1)}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + 5x - x^3 - x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x}{x^2 + 1} $
Y este límite nos da $0$ ¿Por qué? ¿Cómo lo vas a justificar en el parcial? Si algunx se anima, deje en la ExaComunidad una foto de su hoja mostrando como terminamos de justificar que ese resultado es $0$ 😊 (yo la voy a mirar y cualquier cosa la vamos corrigiendo juntxs, tranqui)
Bueno gente, perfecto, $b = 0$, por lo tanto efectivamente nuestra asíntota oblicua es $y = x$ (tal como nos adelantaba el enunciado jeje)
ExaComunidad
Inti
9 de mayo 17:51
Hola profe, espero se encuentre bien, me podria explicar como escribe la resta como una unica fraccion? e visto esa tactica varias veces y aun no me queda claro, porfavor
1 respuesta
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