Volver a Guía
Ir al curso
@Inti Hola Inti! Acá en el curso eso lo encontrás explicado en la clase de Operaciones con Fracciones (en la parte de Repaso de Matemática, al principio principio de todo el curso) Si todavía no viste esa clase mirala que ahí voy explicando todos los pasos (es cortito igual) y es lo mismo que lo que hice acá por ejemplo
0
Responder
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2024
PALACIOS PUEBLA
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
3. Dada la función $f(x)=\frac{x^{3}+5 x}{x^{2}+1}$, verificar que no posee asíntotas horizontales. Comprobar sin embargo que, como se muestra en la figura, la recta $y=x$ es una asíntota oblícua para esta función.
Respuesta
Para comprobar que no tiene asíntotas horizontales, tomemos el límite cuando $x$ tiende a $\pm \infty$ y veamos que efectivamente no nos da un número. Infinito sobre infinito, polinomio sobre otro polinomio, sacamos factor común "el que manda", no? Vamos con esa:
Reportar problema
$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3(1+\frac{5}{x^2})}{x^2(1+\frac{1}{x^2})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1+\frac{5}{x^2})}{1+\frac{1}{x^2}} = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3(1+\frac{5}{x^2})}{x^2(1+\frac{1}{x^2})} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x(1+\frac{5}{x^2})}{1+\frac{1}{x^2}} = -\infty$
Aclaración: Para ahorrarte escribir tanto en tu cuaderno, podrías haber hecho algo así:
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3(1+\frac{5}{x^2})}{x^2(1+\frac{1}{x^2})} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(1+\frac{5}{x^2})}{1+\frac{1}{x^2}} $
Y ahí abris los dos casos, cuando $x$ tiende a $+\infty$ y cuando tiende a $-\infty$, porque fijate que todo el arranque de sacar factor común y simplificar fue igual para los dos ;)
Bien, efectivamente $f$ no tiene asíntotas horizontales. Ahora veamos si tiene asíntotas oblicuas:
Sabemos que la asíntota oblicua tendría la forma \( y = mx + b \). Para determinar si existe una asíntota oblicua, calculamos los valores de \( m \) y \( b \):
Arrancamos por \( m \)
$ m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{x^3+5x}{x^2+1}}{x} $
$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3+5x}{x(x^2+1)} $
$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3+5x}{x^3+x} $
$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3(1+\frac{5}{x^2})}{x^3(1+\frac{1}{x^2})} $
$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1+\frac{5}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}} = 1$
Fijate como en este caso el resultado es el mismo tanto en $+$ como $-\infty$, nos vino bárbaro poner directamente que tomábamos el límite a $\pm \infty$ ;)
Impecable, nuestra posible pendiente es $m = 1$. Ahora veamos si existe la ordenada al origen $b$. Sabemos que va a estar dada por:
$ b = \lim_{x \to \pm\infty} f(x) - x = \frac{x^3+5x}{x^2+1} - x $
Escribimos esa resta como una única fracción:
$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + 5x - x(x^2 + 1)}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + 5x - x^3 - x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x}{x^2 + 1} $
Y este límite nos da $0$ ¿Por qué? ¿Cómo lo vas a justificar en el parcial? Si algunx se anima, deje en la ExaComunidad una foto de su hoja mostrando como terminamos de justificar que ese resultado es $0$ 😊 (yo la voy a mirar y cualquier cosa la vamos corrigiendo juntxs, tranqui)
Bueno gente, perfecto, $b = 0$, por lo tanto efectivamente nuestra asíntota oblicua es $y = x$ (tal como nos adelantaba el enunciado jeje)
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar
tu
comentario.
Inti
9 de mayo 17:51
Hola profe, espero se encuentre bien, me podria explicar como escribe la resta como una unica fraccion? e visto esa tactica varias veces y aun no me queda claro, porfavor
Flor
PROFE
9 de mayo 20:03
0
Responder